Наращение денег по простым процентам

Наращение денег по простым процентам

Задачи на простые проценты

Банк концерна "А" с
целью сказания финансовой помощи выдал ссуду 10 млн. руб. дочернему предприятию
под 20% годовых сроком на 3 года. Проценты простые. Определить сумму возврата
ссуды и доход банка.

Решение:

Сумма наращения денег по простым
процентам

S = P (1 + ni),

где P — сумма кредита;

n — срок кредита, лет;

i — процентная ставка.

Таким образом, сумма возврата
ссуды составит:

S = 10 (1
+ 3*0,2) = 16 млн. руб.

Доход банка — разность между
суммой выдачи и суммой возврата (т.е. величина процентов по ссуде):

16 — 10 = 6 млн. руб.

Определить проценты и сумму
накопленного долга, если ссуда равна 7 млн. руб., срок долга — 4 года по ставке
простого процента, равной 10% годовых.

Решение:

Сумма наращения денег по простым
процентам

S = P (1 + ni),

где P — сумма кредита;

n — срок кредита, лет;

i — процентная ставка.

Таким образом, сумма
накопленного долга составит

S = 7 (1
+ 0,1*4) = 9,8 млн. руб.

Сумма процентов

 

J = S — P = 9,8 —
7 = 2,8 млн. руб.

Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана
20 января до 5 октября включительно под 8% годовых, год невисокосный. Необходимо
найти размер погасительного платежа, применяя три метода нахождения
продолжительности ссуды (см. приложение). Решение:

Точное число дней ссуды получим
по Приложению:

278 — 19 = 259 дней

Приближенное число дней ссуды (продолжительность
каждого месяца 30 дней):

11 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30
+ 30 + 30 + 5 = 256 дней

Возможные варианты расчета
наращенной суммы:

а) по точным процентам с точным
числом дней ссуды:

 =
105,67 тыс. руб.

б) по обыкновенным процентам с
точным числом дней ссуды:

 =
105,75 тыс. руб.

в) по обыкновенным процентам с
приближенным числом дней ссуды:

 =
105,69 тыс. руб.

Контракт предусматривает
следующий порядок начисления процентов: первый год-25%, в каждом последующем
полугодии ставка повышается на 11%. Необходимо определить множитель наращения
за 2.5 года.

Решение:

При установлении переменной
процентной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

Выражение в скобках и
представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,25 + 0,5*0,36 + 0,5*0,47
+ 0,5*0,58 = 1,955

Таким образом, по данному
контракту наращенная сумма будет в 1,955 раза больше первоначальной.

На сумму 10 млн. руб. начисляется
10% годовых. Проценты простые, точные. Какова наращенная сумма, если операция
реинвестирования проводится ежемесячно в течение первого квартала, и какова
наращенная сумма, если операция реинвестирования не проводится?

Решение:

Иногда прибегают к начислению
процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит
многоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализацией процентного
дохода. В этом случае итоговая наращенная сумма определится по формуле:

В нашем случае наращенная сумма
за квартал составит:

S = 10*
(1 + (30/365) *0,1) * (1 + (30/365) *0,1) * (1 + (30/365) *0,1) = 10,249 млн. руб.

Если операция реинвестирования
не производится, то наращенная сумма составит:

S = 10*
(1 + (90/365) *0,1) = 10,246 млн. руб.

Задачи на сложные проценты.

Вкладчик внес 2 млн. руб. в банк
под 50% годовых на 5 лет. Проценты сложные. Какая сумма средств вкладчика по
окончании срока? Чему равен доход вкладчика за 5 лет?

Решение:

Наращенная сумма денег по
формуле сложных процентов имеет вид

S = P (1 + i) n,

где P — сумма кредита;

n — срок кредита, лет;

i — процентная ставка.

Таким образом, сумма средств
вкладчика по окончании срока

S = 2 (1
+ 0,5) 5 = 15,1875 млн. руб.

Доход вкладчика

J = S — P =
15,1875 — 2 = 13,1875 млн. руб.

Банк взимает за ссуду 40%
годовых. За второй год установления банком маржа составляет 2%, за каждый
последующий год 3%. Срок ссуды-5 лет. Размер ссуды-5 млн. руб. Найти сумму
возврата долга через 5 лет.

Решение:

Нестабильность экономической
ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени,
но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом
случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

Таким образом, сумма возврата
через 5 лет составит:

S = 5* (1
+ 0,4) * (1 + 0,42) * (1 + 0,43) 3 = 29 млн. руб.

Первоначальная сумма ссуды-10
тыс. руб., срок-5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала,
номинальная годовая ставка-5%. Требуется определить наращенную сумму. Решение:

Так как проценты начисляются
поквартально, используем формулу сложных процентов с разовым начислением по
номинальной ставке

где j — номинальная ставка;

m — число периодов начисления в году;

n — число лет финансовых вложений.

Тогда наращенная сумма составит

 =
12,820372 тыс. руб.

Банк начисляет проценты по
номинальной ставке 40% годовых. Найти, чему равна эффективная годовая ставка
при ежемесячном начислении процентов.

Решение:

Зависимость эффективной и
номинальной процентных ставок выглядит следующим образом:

Тогда эффективная ставка
составит

 = 0,482
= 48,2%

Простая процентная ставка по
векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной учетной ставки, если
вексель выдан: а) на 2 года; б) на 250 дней. При сроке долгового обязательства
250 дней временную базу ставок примем равной 360 дням.

Решение:

Эквивалентная учетная ставка
связана с простой учетной ставкой следующей зависимостью:

,

где i — простая учетная ставка;

n — срок ссуды в годах.

В случае, когда срок ссуды
меньше года:

n = t/K,

где t — число дней ссуды;

К = 360 дней.

Определим эквивалентную учетную
ставку, если вексель выдан на 2 года:

= 8,33%

Как видно, при наращении по
учетной ставке 8,33% владелец векселя получит такой же доход, что и по простой
ставке 10%.

Определим эквивалентную учетную
ставку для векселя, выданного на 250 дней:

= 9,35%

Определить процентную ставку,
эквивалентную учетной, равной 30%, если наращение определяется: а) по простым
процентам; б) по сложным процентам. Срок погашения-2 года.

Решение:

В случае простых процентов
простая ставка, эквивалентная учетной, определяется по следующей формуле:

Соответственно, простая ставка,
эквивалентная учетной ставке в 30%, будет:

= 75%

В случае сложных процентов
ставка, эквивалентная учетной, определяется по формуле:

Соответственно, при сложной учетной
ставке в 30% эквивалентная ей сложная ставка составит

= 42,85%

Задачи по дисконтированию.

Через год владелец векселя,
выданного коммерческим банком, должен получить по нему 220 тыс. руб. Какая
сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если годовая ставка
составляет 120%?

Решение:

Используем формулу
математического дисконтирования

Таким образом, первоначальная
сумма составит

 тыс. руб.

Фирма планирует кредит в сумме
10 млн. руб. при ставке 200% годовых. Каким должен быть срок ссуды, чтобы сумма
возврата долга составила не более 20 млн. руб?

Решение:

Очевидно, что срок ссуды будет
менее года, поэтому для определения срока ссуды в днях воспользуемся формулой:

,

где К = 360 дней.

 дней

Если фирма хочет выплатить не
более 20 млн. руб., она должна взять ссуду на 180 дней, т.е. на полгода.

Предприниматель обратился в банк
за ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласился выдать
указанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке,
равной 80%. Чему равна сумма долга, указанная в векселе?

Решение:

Если срок ссуды определяется в
днях для простой учетной ставки, наращенная сумма будет равна:

,

где t — срок ссуды в днях;

d — простая учетная ставка;

К = 360 дней.

Тогда сумма долга, указанная в
векселе, составит:

228 тыс.
руб.

Фирме необходим кредит в 500 тыс.
руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возмещен в
размере 600 тыс. руб. Учетная ставка-210% годовых. На какой срок банк
предоставит кредит фирме (К=365 дней)?

Решение:

Для определения срока кредита в
днях воспользуемся формулой

Срок кредита составит

 дня

Контракт на получение ссуды на
500 млн. руб. предусматривает возврат долга через 30 дней в сумме 600 тыс. руб.
Определить примененную банком учетную ставку (К=365 дней).

Решение:

Учетная ставка определяется по
формуле: